Isang tagisan ng state space sa pagitan ng isang patag na grid ng mga dalawa at isang cube na buong binubuo ng mga tatlo.
Isinulat at in-edit sa Ingles. Ang bersyong Filipino na ito ay ginawa sa pamamagitan ng machine translation; kung saan mahalaga ang katumpakan, ang orihinal na Ingles ang awtoritatibo. Basahin ang orihinal sa Ingles →
Ang dalawang laro ay kapwa sliding-number puzzle. Sa 2048, tinutulak mo ang isang 4×4 na grid ng labing-anim na cell sa isa sa apat na direksiyon; nagbabanggaan ang magkaparehong tile at dinodoble, na umaakyat sa mga power ng dalawa. Sa 3927, tinutulak mo ang isang 3×3×3 na cube ng dalawampu't pitong cell sa isa sa anim na direksiyon; nagbabanggaan ang tatlong magkaparehong block at tinatriple, na umaakyat sa mga power ng tatlo, 3, 9, 27, ang mismong mga digit ng pangalan. 1 Ang pagtatanong kung alin ang mas mahirap ay, sa totoo, pagtatanong kung aling laro ang nagtatago ng mas malawak na karagatan ng mga posibleng posisyon. Kaya subukan nating sukatin ang tubig.
Ang hilaw na laki ng isang board ay lumalago ayon sa (mga simbolo bawat cell)cells. Ang bilang ng mga cell ay nasa exponent, at dito naninirahan ang lahat ng lakas. Nag-aalok ang 2048 ng labing-anim na cell; nag-aalok ang 3927 ng dalawampu't pito. Panatilihing nakapirmi ang alpabeto bawat cell at ang cube ay mas malaki na ng salik na humigit-kumulang a27−16 = a11; sa alpabeto ng sampung simbolo, iyon lamang ay sandaang bilyong beses na mas maraming estado bago pa isaalang-alang ang anumang ibang bagay. Ang karagdagang dimensiyon, hindi ang base-3 na aritmetika, ang tunay na makina.
Ang bawat cell ay alinman sa bakante o may hawak na isang halaga ng tile. Para sa 2048 na hinahangganan sa tile na 256, ang isang cell ay nagsasalita ng isa sa siyam na simbolo: bakante, kasama ang {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. Ang isang inilathalang upper bound na binuo mula sa eksaktong alpabetong ito ay naglalagay sa 4×4 na board sa humigit-kumulang 5.63 × 1014 posisyon, at tapat ang mga may-akda na ang ceiling na ito ay kinabibilangan ng mga ilegal na board na hindi kailanman maaaring aktuwal na mangyari. 2 Bigyan ang 3927 ng katumbas na lalim, bakante kasama ang {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, walong simbolo, at ang hilaw na ceiling nito ay 827 ≈ 2.4 × 1024. Ang base 3 ay nagbibigay sa 3927 ng mas kaunting simbolo bawat cell kaysa base 2; ibinabalik dito ng labing-isang karagdagang cell ang langit.
Palalimin nang kaunti ang mga hagdan ng halaga at ang ceiling ng 3927 ay lumalampas sa ceiling ng 2048 ng pagitan ng isang bilyon at sandaang bilyong beses. Nananalo ang cube sa exponent.
Walang sinumang nagbilang nang buo sa mga naaabot na estado ng full-size na 2048, lalo na ng 3927. Ngunit lubusang nalutas ng mga mananaliksik ang mga pinaliit na board ng 2048, at ang mga eksaktong bilang na iyon ang nag-aangkla sa aming mga estimate. Ang isang 3×3 na board ng 2048 ay may 48,713,519 na naaabot na estado; iunat ito sa 4×3 at ang bilang ay lumulukso lampas sa isang trilyon, 1,152,817,492,752 estado, na may 739,648,886,170 natatanging posisyon pagkatapos ng galaw. 3 Ang bawat idinagdag na cell ay nagpaparami sa mundo. I-extrapolate ang curve na iyon sa 27 cell at walang tapat na talahanayan na makapag-print ng iisang numero.
| Katangian | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Board | 4×4 na patag | 3×3×3 na cube |
| Mga cell | 16 | 27 |
| Base ng numero | 2 | 3 |
| Patakaran sa merge | 2 magkapareho → doble | 3 magkapareho → triple |
| Mga direksiyon ng shift | 4 | 6 |
| Mga simbolo / cell (katumbas na lalim) | 9 | 8 |
| Hilaw na ceiling (kasama ang ilegal) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Siniping pinong upper bound | 5.63 × 10¹⁴ | walang inilathala |
| Eksaktong bilang, 4×3 na sub-board | 1.15 × 10¹² | , |
Ang bawat malaking numero rito ay isang upper bound o isang estimate ng order of magnitude, hindi kailanman isang senso. Binibilang ng mga ceiling ang mga board na hindi kailanman naaabot ng legal na paglalaro, halimbawa'y isang board na may hawak na iisang nag-iisang tile (ang dalawang laro ay kapwa nagsisimula sa dalawang tile, at nagdaragdag ng bagong tile pagkatapos ng bawat tira, kaya walang board na kailanman nauuwi sa iisang tile), o mga halagang hindi mabubuo ng anumang pagkakasunod-sunod ng merge. Ang mga bilang para sa 2048 ay hinango mula sa peer-reviewed na pananaliksik; ang mga bilang para sa 3927 ay ang aking sariling magaspang na ceiling, kinuwenta sa parehong paraan, at dapat basahin bilang “hindi mas malaki kaysa rito, marahil mas kaunti nang lubha.” Ang mga patakaran ng dalawang laro ay sinukat mula sa mga dokumento ng disenyo ng laro, hindi ipinagpalagay.
Ang laki ng state space ay ang mapa; ang branching factor ay kung gaano bilis kang lumalakad dito. Sa bawat turn, pumipili ang manlalaro ng direksiyon, hanggang apat sa 2048, hanggang anim sa 3927, kaya ang cube ay nag-aalok ng limampung porsiyentong mas maraming tunay na pagpili bawat galaw. Pagkatapos ay nakikialam ang pagkakataon: naglalagay ang laro ng bagong tile sa isang random na bakanteng cell. Ang 2048 ay nagsisilang ng 2 o 4, humigit-kumulang dalawang kalalabasan bawat bukas na cell sa hanggang labinlimang bakante; ang 3927 ay laging nagsisilang ng iisang 3, ngunit sa hanggang dalawampu't anim na bakante. 1 I-multiply ang pagpapasya sa pagkakataon at ang game tree ng 3927 ay bumubukadkad nang mas lapad sa bawat ply, at, dahil ang mga merge ng tatlo ay mas bihira kaysa mga merge ng dalawa, ang mga run nito ay may hilig na magtagal, na nagpapalalim sa tree gayundin nagpapalapad dito.
Ang “mas mahirap” para sa isang tao ay usapin ng pakiramdam, at ang 2048 ay hindi basta-basta: ang pagpapasya kung ang isang arbitraryong posisyon ay maaaring umabot sa isang target na tile ay napatunayang NP-hard sa isang pangkalahatang board. 4 Ngunit bilang isang kombinatoryal na bagay, ang 3927 ay ang mas malaking hayop sa isang malawak at tapat na margin: mas maraming cell sa exponent, mas maraming direksiyon sa branching, mas mahahabang laro sa lalim. Ang base-3 na aritmetika na nagbibigay dito ng pangalan ay halos isang red herring. Ang hirap ay hindi kailanman nasa mga tatlo. Ito ay nasa ikatlong dimensiyon.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.