Bakit Tatlo

Isang cube na iisang numero lamang ang kilala

Ang 3927 ay ang 2048 na muling itinayo sa tatlong dimensiyon at sa ibang aritmetika. Ang board ay isang 3×3×3 na cube, dalawampu't pitong cell, at tinutulak mo ang buong cube sa alinman sa anim na direksiyon. Kapag nagbanggaan ang tatlong tile na may parehong halaga, hindi dinodoble ang mga ito; tinatriple. Ang tatlo ay nagiging siyam, ang siyam ay nagiging dalawampu't pito, at patuloy: 81, 243, 729. Ang pangalan mismo ay nagbibilang sa unang tatlong tile, 3·9·27, at ang lahat ng bagay sa disenyo ay tatlo hanggang sa kaibuturan: tatlo bawat axis, tatlo para sa isang merge, tatlo bilang salik ng paglago. ⁴

Ang ninuno nito ay matigas na binary. Ang klasikong 2048 ay gumagamit ng mga power ng dalawa, 2, 4, 8, 16…, at nagsasanib ng mga tile nang dalawahan. Ang dalawa ay ang bilang ng coin flip, ng transistor, ng bit. Kaya ang natural na tanong ng isang mausisang manlalaro ay kung ang pagpapalit ng dalawa sa tatlo ay pawang pagiging bago, o kung ang tatlo ay nagtatago ng isang tunay na kalamangan mula pa sa simula. Lumalabas na ang matematika ay may opinyon, at ang opinyong iyon ay nakagugulat na matatag.

Ang halaga ng pagbilang

Isipin na kailangan mong bumuo ng makinang nag-iimbak ng mga numero. Ang bawat posisyon ng digit ay may kapalit, isang gulong, isang kawad, isang tubo, at ang kapalit na iyon ay nakadepende sa base, sapagkat ang isang digit sa base b ay nangangailangan ng b na makikilalang estado. Ngunit ang mas malaking base ay nangangahulugan din na kailangan mo ng mas kaunting digit upang umabot sa anumang ibinigay na numero. Mayroon dito ng tensiyon, at ito ay may pangalan: radix economy.

Sa pormal na paraan, ang economy ng pagkatawan sa isang numerong N sa base b ay ang base na minultiply sa bilang ng digit, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. ¹ Ang malaking base ay nagbibigay ng maiikling numero ngunit mamahaling digit; ang maliit na base ay mura bawat digit ngunit kumakalat. Sa pagitan ng dalawang dulo ay mayroon ng pinakamainam na punto, at ito ay hindi kung saan humantong ang halos lahat ng ating teknolohiya.

Ang optimal na base ay irrational

Para sa malaking N, ang economy ay kumikilos tulad ng (b ÷ ln b) · ln N, kaya ang episyensiya ng isang base ay lubos na nakasalalay sa salik na b ÷ ln b. I-minimize iyon gamit ang kaunting calculus at ang sagot ay eksakto at kakaiba: ang pinakamatipid na base sa lahat ay e, humigit-kumulang 2.71828. ¹ Hindi maaari, tunay, na bumuo ng computer na may 2.718 estado bawat digit. Ngunit maaari mong itanong kung aling integer ang pinakamalapit sa ideal na iyon, at ang nagwagi, na tinalo kapwa ang dalawa at ang sampu, ay tatlo.

Ang pagitan ay hindi pang-akademiko lamang. Ang base tatlo ay nasa loob ng kalahating porsiyento ng teoretikal na optimum, samantalang ang binary ay nagbabayad ng anim na porsiyentong surcharge at ang decimal ng mapanlupig na animnapu. Isang kongkretong paraan upang madama ito: upang isulat ang bawat numero mula 0 hanggang 999,999, ang binary ay nangangailangan ng 20 digit, ang decimal ng 6, ngunit ang ternary ay nangangailangan lamang ng 13, at ang 13×3 ay mas maliit na kabuuan kaysa 20×2. ¹ Tunay na naglalaman ang tatlo ng mas maraming pagbilang sa mas kaunting istruktura.

Tinanong ang kalikasan na pangalanan ang pinakaepisyenteng paraan ng pagbilang, at sumagot ito ng isang irrational na numero. Ang pinakamalapit na whole number sa sagot na iyon ay tatlo.

Ang makinang nanalig dito

Ito ay hindi lamang isang kuryosidad ng mga textbook. Noong 1958, sa Moscow State University, isang koponang pinamunuan nina Nikolay Brusentsov at ng matematikong si Sergei Sobolev ang bumuo ng Setun, ang pinakatanyag na ternary computer na kailanman ginawa. ³ Samantalang ang Kanluran ay nagpapasya sa mga bit, ang Setun ay nagbilang sa mga trit, at gumamit ng isang partikular na magandang sistema: balanced ternary, na ang tatlong halaga ng digit ay hindi 0, 1, 2 kundi −1, 0, +1. ²

Ang simetriya ay agad na nagbubunga. Ang isang numero ay nagdadala ng sarili nitong tanda, walang hiwalay na sign bit, walang pilipit ng two's complement, at upang i-negate ang anumang halaga ay binabaligtad lamang ang bawat digit. Ang pag-round at ang truncation ay nagiging parehong operasyon. Hinatulan ito ni Donald Knuth bilang “perhaps the prettiest number system of all” (“marahil ang pinakamarikit na sistema ng numero sa lahat”). ² Si Brusentsov, na walang transistor, ay hinugot ang tatlong matatag na estado mula sa mga pares ng ferrite core; humigit-kumulang limampung Setun ang binuo, na ang halos lahat ay ipinadala upang magturo ng matematika sa mga unibersidad ng Unyong Sobyet. ³ Gumana ang makina, at mura ito, at tahimik itong nauna sa mga kapitbahay nito.

Ang tatlo ba ay ang mas elegante na laro?

Narito kung saan dapat pigilan ng isang maingat na manunulat ang kanyang sarili. Ang radix economy ay isang pahayag tungkol sa pag-iimbak at pagproseso ng mga numero sa ilalim ng mga partikular na palagay tungkol sa kapalit, at maging ang mga matematiko ay nagsasabing ang mga palagay na iyon ay tinatayang tumpak lamang; ang mas buong pagtutuos ay kadalasang muling nagbibigay-katwiran sa binary, na siyang dahilan kung bakit tumatakbo rito ang mundo. ¹ Ang isang merge puzzle ay hindi memory bank; walang sinumang nagbabawas ng bilang ng tubo sa oras ng coffee break. Kaya ang 3927 ay hindi “mas episyente” sa anumang makabuluhang kahulugang pang-inhinyeriya, at pandaraya kung sasabihin ito.

Ngunit gayunman. Nagmamana ang laro ng isang bagay na totoo. Ang paglago sa pag-triple ay umaabot sa malalaking numero sa mas kaunti at mas makabuluhang galaw; ang bawat merge ay gumagawa ng mas maraming gawain, at ang isang 3×3×3 na cube ay ang pinakamaliit na board na nagpapahintulot sa tatluhang pagsasanib na huminga sa bawat direksiyon. ⁴ Hindi nagkataon na natisod ang disenyo sa tatlo; humantong ito sa integer na tahimik na pinili ng matematika ng pagbilang mula sa bukang-liwayway ng elektronikong computing, ang integer na pinili nang may layunin ng mga inhinyero ng Setun. Ang dalawa ay ang numerong nakasanayan natin. Ang tatlo ay ang numerong ating pipiliin kung ang episyensiya, at hindi ang coin flip, ang siyang may huling salita. Ang katotohanang ang mga tile ay nagkataong bumabaybay ng 3, 9, 27 ay isang maliit na biro na dati nang ikinukuwento ng sansinukob.